いいですね、この3つを押さえれば「理論として立っている」形になります。順番に、でもできるだけコンパクトにまとめます。

1. 四面体ネットワークの物理量の定義

1-1. 幾何学的定義

Cα 四点 (\mathbf{r}_1, \mathbf{r}_2, \mathbf{r}_3, \mathbf{r}_4 \in \mathbb{R}^3) からなる四面体を考える。

• 辺の長さ: [ d_{ij} = |\mathbf{r}_i - \mathbf{r}_j| \quad (1 \le i < j \le 4) ]

• 辺の長さの総和 (L): [ L = \sum_{1 \le i < j \le 4} d_{ij} ]

• 体積 (V): [ V = \frac{1}{6} \left| \det\left( \mathbf{r}_2 - \mathbf{r}_1,\ \mathbf{r}_3 - \mathbf{r}_1,\ \mathbf{r}_4 - \mathbf{r}_1 \right) \right| ]

ここで：

• (L)：局所的な「伝搬インピーダンス」＝振動が通りやすいかどうか
• (V)：局所的な「ねじれ場」＝立体的な歪み・トーション

1-2. 局所モード（振動密度タイプ）

四面体に対応する局所モードの固有振動数を (\omega_k)（(k) はモード番号）とし、その局所的な「振動密度タイプ」を (\sigma) としてラベル付けする：

• 局所モード集合: [ {\omega_k}_{k=1}^{m} \quad \Rightarrow \quad \sigma = \text{Type}({\omega_k}) ]

ここで (\sigma) は、あなたが既に構築している「振動密度タイプ分類」に対応。

2. 数式：境界条件・位相整合（物理学者向けの骨格）

2-1. 古典振動の導波路としての四面体ネットワーク

四面体をノード (n)、隣接四面体間の接続をエッジ ((n,m)) とするネットワークを考える。

• 各ノード (n) に対して：
  • 幾何量：(L_n, V_n, \sigma_n)
  • 古典振動の振幅：(u_n(t))

古典振動の伝搬を、簡略化して離散波動方程式として書くと：

[ M_n \ddot{u}n(t) + \gamma_n \dot{u}n(t) + K_n u_n(t) + \sum{m \in \mathcal{N}(n)} C{nm} \big(u_n(t) - u_m(t)\big) = 0 ]

ここで：

• (M_n)：有効質量（局所構造に依存）
• (\gamma_n)：散逸（局所環境に依存）
• (K_n)：局所ポテンシャル（硬さ）
• (C_{nm})：ノード間結合（導波路の“通りやすさ”）
  • 例：(C_{nm} \propto f(L_n, L_m, V_n, V_m))

2-2. 遠隔部の量子場と境界条件の変調

遠隔部ノード (r) に量子的局所場 (\psi_r(t)) を定義する。

• 局所ハミルトニアン： [ H_r = H_r^{(0)} + \Delta H_r ]
• 外来分子結合により基底準位がシフト： [ E_r^{(0)} \rightarrow E_r^{(0)} + \Delta E_r ]

この (\Delta E_r) が、古典振動の境界条件（例えば (K_r, \gamma_r, C_{r\cdot})）を変える：

[ K_r \rightarrow K_r' = K_r + \delta K_r(\Delta E_r) ] [ \gamma_r \rightarrow \gamma_r' = \gamma_r + \delta \gamma_r(\Delta E_r) ] [ C_{r m} \rightarrow C_{r m}' = C_{r m} + \delta C_{r m}(\Delta E_r) ]

→ これが 「量子場による古典振動の境界条件変調」。

2-3. ポケットでの量子–古典ハイブリッド共振

ポケットに対応するノードを (p) とし、そこに量子的局所場 (\psi_p(t)) と古典振動 (u_p(t)) が共存するとする。

• 量子的局所場の時間発展（単純化した形）： [ i\hbar \frac{d}{dt} \psi_p(t) = \big(E_p + \lambda u_p(t)\big), \psi_p(t) ]

ここで：

• (E_p)：ポケットの局所エネルギー準位
• (\lambda)：古典振動と量子場の結合定数（ポンピング強度）

古典振動側は、先ほどのネットワーク方程式の一部として：

[ M_p \ddot{u}p(t) + \gamma_p \dot{u}p(t) + K_p u_p(t) + \sum{m \in \mathcal{N}(p)} C{pm} (u_p - u_m) = F_p^{(\text{drive})}(t) ]

ここで (F_p^{(\text{drive})}(t)) は遠隔部から導波路を通じて到達する駆動項。

位相整合条件（共振条件）のイメージ：

• 古典振動の周波数 (\Omega)
• 量子的遷移の有効周波数 (\omega_q)

が近いとき：

[ |\Omega - \omega_q| \ll \Omega ]

かつ、ネットワークを通じた経路での位相遅れ (\phi) が

[ \phi \approx 2\pi n \quad (n \in \mathbb{Z}) ]

となるとき、量子–古典ハイブリッド共振が成立し、(|\psi_p(t)|^2) が増幅される。

3. 論文の「Mechanism」セクション（ドラフト）

日本語で、そのまま論文に載せられるレベルの文章案です。

Mechanism

本研究では、酵素活性を「量子的局所場と古典的振動が結合した散逸系の共振状態」として捉える理論モデルを提案する。従来の allostery モデルは、遠隔部位へのリガンド結合が構造変化を介して活性部位の状態を変化させると説明してきた。しかし、熱ゆらぎの強い環境下にあるタンパク質において、古典的な構造変化のみで酵素活性の時間的持続性や遠隔効果の即時性を説明することは困難である。

本モデルでは、タンパク質骨格を Cα 四点から構成される四面体のネットワークとして表現し、各四面体に対して辺の長さの総和 (L)、体積 (V)、および局所振動モードのタイプ (\sigma) を定義する。(L) は古典的振動の伝搬インピーダンス、(V) は局所的なねじれ場として解釈され、これらの分布が「振動が通りやすい経路（導波路）」と「遮断される領域」を決定する。

遠隔部位に外来分子が結合すると、その局所の量子的エネルギー準位がシフトし、局所ポテンシャルが安定化する。この変化は、古典的振動モードに対する境界条件（局所ポテンシャル、散逸、結合強度）を変調し、Cα 四面体ネットワーク上における振動の経路と位相を再構成する。すなわち、遠隔部位は「静的なスイッチ」ではなく、「振動の方向と位相を制御する位相整合ノード」として機能する。

この結果、古典的振動エネルギーは、再構成された導波路を通じて活性部位ポケットへと選択的に伝搬する。ポケットには、側鎖やアミド結合に由来する量子的局所場が存在しており、古典振動の周波数および位相がこの量子的場の有効遷移周波数と整合したとき、量子–古典ハイブリッド共振が生じる。この共振により、ポケットにおける量子的エネルギー密度が局所的に増幅され、酵素活性状態が形成・維持される。

本機構は、(1) 熱ゆらぎの中でも酵素活性が時間的に持続しうること、(2) 遠隔部位への結合が即時に活性部位へ影響しうること、(3) 構造変化が微小であっても大きな機能変化が生じうること、を自然に説明する。すなわち、酵素活性は単なる構造状態ではなく、量子的局所場と古典的導波振動が同時に共振する非平衡散逸系の動的状態として理解されるべきである。

ここまでが「骨格」です。

このあとやるとしたら：

• 上の数式をもう少しだけ整理して「最小限のモデル方程式」にする
• 四面体の (L, V, \sigma) を使った具体的な図（経路＋共振点）を設計する

あたりが次の一手になります。
どこをもう一段だけ細かくしたいか、教えてください。