◆ 日本語版：係数の物理的意味づけ（論文用）

本研究では、タンパク質の揺らぎを結合振動子モデルに写像し、
その際に現れる微分方程式の係数に生命科学的な意味を与える。

一般的な結合振動子の運動方程式は次式で表される：

[ m x'' + \gamma x' + k x = 0 ]

ここで

• ( \gamma )：減衰係数（エネルギー散逸の大きさ）
• ( k )：復元力（構造の拘束の強さ）

本研究では、これらをタンパク質構造の特徴量から次のように定義する。

● 減衰係数 ( \gamma ) の定義

[ \gamma \propto \lambda \times V_{\text{pocket}} ]

意味：

• λ は Cα 行列の固有値から得られる「構造自由度の総量」
• ポケット体積 (V_{\text{pocket}}) は内部水の出入りのしやすさを表す
• 自由度が大きく、ポケットが大きいほど、内部水の再配置による散逸が大きい

したがって、
“揺れやすい構造ほど散逸が大きい”
という生命科学的仮説に基づき、
減衰係数を λ とポケット体積の積に比例させる。

● 復元力 ( k ) の定義

[ k \propto \frac{1}{d^2} \times \frac{1}{M} ]

意味：

• ( d )：分子重心からポケット中心までの距離
• ( M )：分子量
• ポケットが遠いほど、構造全体の結合は緩く、復元力は小さい
• 分子量が大きいほど慣性が大きく、復元力は小さい

したがって、
“重くて大きく、ポケットが遠い酵素ほど揺れが戻りにくい”
という仮説に基づき、復元力を距離と分子量の逆数に比例させる。

◆ 英語版：Physical Interpretation of the Coefficients

In this study, protein structural fluctuations are mapped onto a coupled‑oscillator model.
The differential equation governing the motion is:

[ m x'' + \gamma x' + k x = 0 ]

where

• ( \gamma ) is the damping coefficient (energy dissipation),
• ( k ) is the restoring force (structural stiffness).

We define these coefficients using structural features of the protein as follows.

● Damping coefficient ( \gamma )

[ \gamma \propto \lambda \times V_{\text{pocket}} ]

Interpretation:

• λ represents the total structural degrees of freedom derived from the Cα eigenvalue spectrum.
• (V_{\text{pocket}}) represents the accessible volume for internal water rearrangement.
• A flexible structure with a large pocket allows greater internal water mobility, leading to higher dissipation.

Thus, based on the biological hypothesis that
“more flexible proteins dissipate energy more readily,”
the damping coefficient is defined as proportional to λ times pocket volume.

● Restoring force ( k )

[ k \propto \frac{1}{d^2} \times \frac{1}{M} ]

Interpretation:

• ( d ) is the distance between the molecular centroid and the pocket center.
• ( M ) is the molecular weight.
• A distant pocket implies weaker structural coupling and therefore a smaller restoring force.
• A larger molecular weight increases inertia and reduces the effective restoring force.

Thus, based on the hypothesis that
“larger and heavier proteins with distant pockets return more slowly to equilibrium,”
the restoring force is defined as inversely proportional to distance squared and molecular weight.