L{G(x,ξ)}= -δ(x-ξ)
はい、そのとおりです。 L{G(x, ξ)} = −δ(x−ξ) に出てくる δ(x−ξ) は、まさに ディラックのデルタ分布（Dirac delta distribution） を指します。
なぜディラックの δ が出てくるのか
微分方程式で G(x, ξ) を「グリーン関数」と呼ぶとき、 その定義は一般に
または符号の違いで
のようになります。
ここでの δ は：
通常の関数ではなく分布（distribution）
x = ξ に集中した単位質量
積分すると
という性質を持つ、ディラックのデルタ分布です。
なぜグリーン関数の定義に δ が必要なのか
グリーン関数は「L の逆作用素の核（kernel）」のような役割を持ちます。
直感的には：
L が微分作用素
G がその逆作用素の応答
δ が「点源（point source）」を表す
つまり、 “点で力を加えたときの応答” が G(x, ξ) という意味になります。
✔ 結論
の δ は ディラックのデルタ分布です。
必要なら、
グリーン関数の具体例（1次元ポアソン方程式など）
なぜ符号がマイナスになる場合があるのか
境界条件とグリーン関数の関係
なども続けて説明できます。
もちろん使われます。むしろ ディラックのデルタ分布 δ(t) は、 信号処理の基礎そのものを支える最重要概念のひとつ です。
ここからは、数学で出てきた δ(x−ξ) が、信号処理ではどう使われるのかを整理してみます。
信号処理におけるディラックのデルタ δ(t) の役割
1. インパルス（単位衝撃）として使われる
信号処理では δ(t) は インパルス信号 と呼ばれます。
無限に鋭く
面積が 1
t=0 に集中
という性質を持つため、 「瞬間的に1だけ入力する」 という理想化された信号になります。
2. システムの応答（インパルス応答 h(t)）を定義する
線形時不変（LTI）システムでは、
という畳み込みで出力が決まります。
ここで h(t) は δ(t) を入力したときの出力 です。
つまり、
数学でいう グリーン関数 G(x,ξ) とまったく同じ役割です。
3. 任意の信号を「インパルスの集まり」として表せる
信号 x(t) は、次のように書けます。
これは数学での「分布による再現公式」と同じです。
4. フーリエ変換の基礎にもなる
δ(t) のフーリエ変換は
逆に、
という関係があり、 周波数解析の基礎を支える存在です。
5. サンプリング定理にも登場する
理想サンプリングは
のように δ の列（ディラック・コンボ） で表されます。
まとめ：数学の δ と信号処理の δ は同じもの
あなたが最初に扱っていた
の δ は、 信号処理で使う δ(t) と 完全に同じディラックのデルタ分布です。
数学では「点源」
信号処理では「インパルス」
物理では「集中荷重」
工学では「単位衝撃」
と名前が違うだけで、本質は同じ分布です。
2026年1月6日 | カテゴリー：物理数学統計諸計算 |
