ｔ分布と正規分布の違い

母平均の推定・検定でどのように使い分けるか

データの平均値を推定したり検定したりするときには、正規分布を用いた方法と、ｔ分布を用いた方法があります。

問題の状況によって、正規分布を使うか、ｔ分布を使うか、が決まります

ｔ分布と正規分布を使い分ける基準は、母分散がわかっているかどうかで判断します。

母分散がわかっているときは正規分布を使用し、母分散がわかっていないときはｔ分布を使用します。

次節以降で、その理由と具体的な例を解説します。

さきほどは、母分散が既知か未知かで使い分けることを説明しました。

実は、母分散が既知の場合でもｔ分布を使用することができます。
つまり、以下の表のように、ｔ分布は母分散の既知・未知にかかわらず使うことができるのです。

では、なぜ母分散が既知のときには正規分布を使うかというと、正規分布を使った方が推定・検定の精度がよいからです。

正規分布はｔ分布よりも尖った形状をしているので、同じ区間の幅が小さくなります。(下図)

よって、母分散が既知のときには、推測の精度を上げるために正規分布を使う方がよいです。

母分散が既知のとき、正規分布を使った場合と、ｔ分布を使った場合とで、推定結果にどのような違いがあるのかを例題で確認してみましょう。

例題

正規分布にしたがう母集団から、データを 6個とった。
　21, 20, 23, 20, 20, 19
長年の経験から、母分散は 1.9 であることがわかっている。
母平均の 95% 信頼区間を求めよ。

母分散がわかっていますので、正規分布を用いても、ｔ分布を用いても解くことができます。
比較のために、両方で計算してみましょう。

正規分布の場合
6 個のデータの平均値は 20.5 ですので、母平均の 95% 信頼区間は、

20.5 - 1.96 \times σ --\sqrt 6 -\sqrt \leq μ \leq 20.5 + 1.96 \times σ --\sqrt 6 -\sqrt

母分散が 1.9 なので、σ=1.9−−−√ を代入して計算すると、

19.4 \leq μ \leq 21.6

となります。

ｔ分布の場合
6 個のデータの平均値は 20.5、不偏分散は 1.9 なので、95%信頼区間は、

20.5 - 2.57 \times s \sqrt 6 -\sqrt \leq μ \leq 20.5 + 2.57 \times s \sqrt 6 -\sqrt

不偏分散の値 s=1.9−−−√ を代入して

19.1 \leq μ \leq 21.9

結果を見比べてみましょう。
母平均の 95%信頼区間は、

正規分布の方が信頼区間の幅が小さく、推定には都合のよいことが分かります。

このように、母分散がわかっているときは正規分布を使うようにします